FORMA REDUCIDA DE UNA CUÁDRICA

Los términos rectangulares de la ecuación cuadrática, es decir los términos que contienen productos de variables, como xy ; xz ; yz, pueden eliminarse mediante una rotación con centro en el origen de coordenadas.

Para hallar la matriz rotación P, que permita eliminar los términos rectangulares, debemos buscar los valores y vectores propios asociados a la matriz A. 

Una vez conocidos los vectores propios asociados a A, se construye la matriz P, colocando dichos vectores normalizados como columnas de la misma y ubicándolos de manera tal que el determinante de la misma sea 1.

Premultiplicando la matriz de las incógnitas X por la matriz rotación P, lograremos rotar los ejes x, y, z, de manera tal que los nuevos ejes serán ahora x´; y´; z´  y  la matriz columna que los contiene será X ´.
Reemplazando    X = P . X '  en la ecuación matricial, obtendremos:
       
                                 X^T  A. X  +  K  X  + [ j ]  =  0  ,

   (  P . X ' )^T  A. P . X '  +  K  P . X '  + [ j ]  =  0  ,

   X ' ^T P^T   A. P . X '  +  K  P . X '  + [ j ]  =  0  ,

Teniendo en cuenta que P^TA P = D matriz diagonal semeante a la matriz A.

   X ' ^T D. X '  +  K  P . X '  + [ j ]  =  0  ,

luego mediante traslaciones podemos hacer desaparecer los términos lineales en  x´; y´; z´ simultáneamente, quedando una ecuación de la forma:

  m x²+ n y²+ o z²+ p = 0 

donde m, n y o son los valores propios de la matriz asociada a la cuádrica. 
Esta ecuación recibe el nombre de forma reducida de la ecuación de una cuádrica. 

Ejemplo: 

Dada la siguiente ecuación:

144 x² + 100 y² + 81 z² – 216 x z – 540 x – 720 z = 0

a) Exprese la ecuación en forma matricial.

b) Encuentre la matriz que diagonaliza ortogonalmente a la matriz de la forma cuadrática.

c) Exprese la ecuación referida al nuevo sistema rotado o rototrasladado.

	SOLUCIÓN:

 

 

 Dada la ecuación de la cuádrica:

             a x² + b y² + c z² + d xy + e xz + f yz + g x + h y + i z + j = 0

 expresamos dicha ecuación en forma matricial:

X^T A X + K X + [ j ] = O

 Como en la ecuación aparecen términos rectangulares, la cuádrica se encuentra rotada. Buscamos la matriz P: